Modele materiałowe w analizie przepływu
Analiza przepływu dla stanu ustalonego wykorzystuje prawo Darcy'ego, wyznaczające związek między prędkością przepływu i gradientu wysokości hydraulicznej. W obecnej wersji programu przyjęto stałe wartości współczynników filtracji niezależnie od ciśnienia porowego.
Program wymaga ponadto zdefiniowania początkowego wskaźnika porowatości e0 dla określenia porowatości bieżącej n, a następnie rzeczywistej prędkości wody płynącej tylko przez pory vs = v/n, gdzie v oznacza prędkość przepływu przez całą powierzchnię filtracji. Zasadniczo, wskaźnik porowatości e0 = 1 odpowiada porowatości gruntu n = 50%.
Poprzez wprowadzenie współczynnika przepuszczalności względnej Kr, program umożliwia śledzenie strefy przejściowej między strefą całkowitej saturacji (S = 1, Kr = 1) i aeracji (Kr => 0) w obrębie elementu gruntowego. Jako przykład, rozważymy problem przepływu swobodnego. Proces śledzenia strefy przejściowej wykorzystuje jeden z trzech modeli strefy przejściowej określający zmienność współczynnika przepuszczalności względnej Kr jako funkcji wysokości ciśnienia porowego, zob. rysunki.
(a) model Logarytmiczno-liniowy model [1], (b) model Van Genuchtena [2]
Model logarytmiczno-liniowy
Logarytmiczno-liniowy model strefy przejściowej, opisany m.in. w poz. [1], definiują następujące parametry:
hpmin | - | minimalna wartość ciśnienia porowego w strefie pełnej saturacji [kPa] |
hTZ | - | szerokość strefy przejściowej [m] |
R | - | parametr redukcji, liczba odpowiednio duża R = 100 do 1000 [-], domyślnie zakłada się R = 1000 [-] |
Współczynnik przepuszczalności względnej Kr opisany jest następująco:
Model Gardnera
Jest to model ekwiwalentny, zależny tylko od jednego parametru α [1/m]. Współczynnik przepuszczalności względnej Kr w tym przypadku opisany jest jako [4]:
Model Van Genuchtena
W tym przypadku, wartość współczynnika przepuszczalności względnej Kr wyraża wzór:
gdzie α [1/m], n > 1, m = 1 - 1/n są parametrami modelu. Ich wartości można uzyskać za pomocą laboratoryjnych pomiarów krzywych retencji, których przybliżenie ma postać:
gdzie: | Ssat | - | stopień nasycenia gruntu wodą w stanie pełnej saturacji; domyślnie: Ssat = 1 |
Sr | - | rezydualny stopień saturacji | |
Θ | - | znormalizowana zawartość wody |
Parameter Θ definiuje się następująco:
gdzie: | θr | - | zawartość wody rezydualnej (resztkowej) [m3/m3] |
θS | - | zawartość wody w stanie pełnego nasycenia [m3/m3] |
Bieżący stopień nasycenia S może być określony jako stosunek zawartości wody θ i porowatości n w sposób następujący (należy przy tym rozróżnić n reprezentujące porowatość oraz n, pojawiające się w modelu van Genuchtena; są to dwie różne zmienne):
Modele Logarytmiczno-liniowy i Gardnera przyjmują uproszczoną wersję modelu van Genuchtena według [5]:
gdzie b > 0 [-] jest parametrem dostosowującym, umożliwiającym dokładniejszą aproksymację danych retencyjnych danego gruntu.
Zalecamy stosowanie parametrów z przedstawionych poniżej tablic. Parametry te zostąły wprowadzone do programu i pochodzą z oryginalnych źródeł.
Optymalne wartości parametrów modelu van Genuchtena dla różnych klasyfikacji wykonanych z wykorzystaniem USDA oraz FAO zestawiono w poniższych tablicach.
Tablica współczynników regresji dla wielkości ziarn USDA według Van Genuchtena (1991)
Grunt (rozmiar ziaren) | Ksat [m/den] | RETC | Rosetta | ||||||
e [-] | Sr [-] | α [1/m] | n [-] | e [-] | Sr [-] | α [1/m] | n [-] | ||
Piasek | 7,13 | 0,75 | 0,11 | 14,5 | 2,68 | 0,60 | 0,14 | 3,5 | 3,18 |
Piasek ilasty | 3,50 | 0,70 | 0,14 | 12,4 | 2,28 | 0,64 | 0,13 | 3,5 | 1,747 |
Ił piaszczysty | 1,06 | 0,70 | 0,16 | 7,5 | 1,89 | 0,63 | 0,10 | 2,7 | 1,448 |
Ił | 0,25 | 0,75 | 0,18 | 3,6 | 1,56 | 0,66 | 0,15 | 1,1 | 1,474 |
Pył | 0,06 | 0,85 | 0,07 | 1,6 | 1,37 | 0,96 | 0,10 | 0,7 | 1,677 |
Ił pylasty | 0,11 | 0,82 | 0,15 | 2,0 | 1,41 | 0,78 | 0,15 | 0,5 | 1,663 |
Piaszczysto pylasty ił | 0,314 | 0,64 | 0,26 | 5,9 | 1,48 | 0,62 | 0,16 | 2,1 | 1,33 |
Ił pylasty (ił gliniasty) | 0,062 | 0,70 | 0,23 | 1,9 | 1,31 | 0,79 | 0,18 | 1,6 | 1,415 |
Ił pylasty (ił pylasto-gliniasty) | 0,017 | 0,75 | 0,21 | 1,0 | 1,23 | 0,93 | 0,19 | 0,8 | 1,52 |
Ił piaszczysty (glina piaszczysta) | 0,029 | 0,61 | 0,26 | 2,7 | 1,23 | 0,63 | 0,30 | 3,3 | 1,207 |
Ił pylasty (glina pylasta) | 0,0048 | 0,56 | 0,19 | 0,5 | 1,09 | 0,93 | 0,23 | 1,6 | 1,321 |
Ił (glina) | 0,048 | 0,61 | 0,18 | 0,8 | 1,09 | 0,85 | 0,21 | 1,5 | 1,253 |
Tablica współczynników regresji dla wielkości ziarn FAO według Van Genuchtena (1998)
Grunt (rozmiar ziaren) | Ksat [m/den] | e [-] | Sr [-] | α [1/m] | n [-] |
Grunt powierzchniowy (do głębokości 1 m) | |||||
Gruby (C) | 0,600 | 0,68 | 0,062 | 3,83 | 1,3774 |
Średni (M) | 0,121 | 0,78 | 0,023 | 3,14 | 1,1804 |
Średni-drobny (MF) | 0,023 | 0,75 | 0,023 | 0,83 | 1,2539 |
Drobny (F) | 0,248 | 1,08 | 0,019 | 3,67 | 1,0120 |
Bardzo drobny (VF) | 0,150 | 0,78 | 0,016 | 2,65 | 1,1033 |
Grunt położony głębiej (> 1 m) | |||||
Gruby (C) | 0,700 | 0,58 | 0,068 | 4,30 | 1,5206 |
Średni (M) | 0,108 | 0,65 | 0,026 | 2,49 | 1,1689 |
Średni-drobny (MF) | 0,040 | 0,70 | 0,024 | 0,82 | 1,2179 |
Drobny (F) | 0,085 | 0,93 | 0,021 | 1,98 | 1,0861 |
Bardzo drobny (VF) | 0,082 | 1,17 | 0,019 | 1,68 | 1,0730 |
Tablica : system klasyfikacji tekstury gruntów FAO
Grunt | Definicja |
Gruby (C) Średni (M) | ił < 18% i piasek > 65% 18%< ił < 35% i 15%< piasek lub: ił < 18% i 15%< piasek < 65% |
Średnio drobny (MF) | ił < 35% i piasek < 15% |
Drobny (F) | 35%< ił < 60% |
Bardzo drobny (VF) | 60%< ił |
Literatura:
Zagadnienie opisane jest szczegółowo w [2].
[1] D.M. Potts, L. Zdravkovič, Finite element analysis in geotechnical engineering - theory, Thomas Telford, London, 1999.
[2] M. Th. Van Genuchten, A closed formulation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils, Journal Soil Science Society of America 44, 239-259, 1988..
[3] M. Šejnoha, Finite element analysis in geotechnical design, to appear (2015).
[4] W. R. Gardner, Some steady-state solutions of the unsaturated moisture flow equation to evaporation from a water table, Soil Science 85(4), 228-232, 1958.
[5] M. Šejnoha, T. Janda, H. Pruška, M. Brouček, Modelování geotechnických úloh metodou konečných prvků: Teoretická základy a aplikace, předpokládaný rok vydání (2015).
[6] USDA 1951. Soil Survey Manual. Soil Conservation Service. U.S. Department of Agriculture Handbook No. 18. US Government Printing Office. Washington DC.
[7] Wösten, J.H.M., et. al. 1998. Using existing soil data to derive hydraulic parameters for simulation models in environmental studies and in land use planning. Final Report on the European Union Funded project. DLO Winand Staring Centre. Report 156, Wageningen, NL. p. 106. ISSN 0927-04537.